Действия вычитания определяют, используя действие сложения. Например, вычесть из числа 17 число 5 − это означает найти такое число, которое в сумме с числом 5 дает число 17. Поскольку 5 + 12 = 17, то 17 − 5 = 12.
Вообще, равенство a − b = c верно, если верно равенство b + c = a.
Рассмотрим еще несколько примеров:
173 − 89 = 84, так как 89 + 84 = 173;
2 368 − 572 = 1 796, так как 572 + 1 796 = 2 368.
Напомним, что в равенстве a − b = c число a называют уменьшаемым, число b − вычитаемым, число c и запись a − b − разностью.
Разность a − b показывает, на сколько число a больше числа b или на сколько число b меньше числа a.
При вычитании число 0 обладает особым свойством. Если вычитаемое равно нулю, то разность равна уменьшаемому:
a − 0 = a
Справедливым является и такое свойство. Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность равна нулю:
a − a = 0
Эти равенства легко проверить с помощью сложения.
Пример 1. Длина реки Волги составляет 3 531 км. Длина реки Енисей на 44 км меньше длины Волги и на 633 км больше длины реки Амур. Найдите длины рек Енисей и Амур.
Решение.
1) 3 531 − 44 = 3 487 (км) − длина Енисея.
2) 3 487 − 663 = 2 824 (км) − длина Амура.
Ответ: 3 487 км, 2 824 км.
Пример 2. Вычислите: 428 − (128 + 126).
Решение.
Имеем: 428 − (128 + 126) = 428 − 254 = 174.
Вычисления можно было провести иначе, воспользовавшись правилом вычитания суммы из числа.
Чтобы из числа вычесть сумму двух слагаемых, можно из этого числа вычесть одно из слагаемых и потом из результата вычесть другое слагаемое.
Имеем: 428 − (128 + 126) = (428 − 128) − 126 = 300 − 126 = 174.
Пример 3. Вычислите: (619 + 282) − 319.
Решение.
Имеем: (619 + 282) − 319 = 901 − 319 = 582.
Вычисления можно было провести иначе, воспользовавшись правилом вычитания числа из суммы.
Чтобы из суммы двух слагаемых вычесть число, можно вычесть это число из одного из слагаемых (если это слагаемое больше или равно вычитаемому) и потом к результату прибавить другое слагаемое.
Имеем: (619 + 282) − 319 = (619 − 319) + 282 = 300 + 282 = 582.
Заметим, что, например, к выражению (17 + 19) − 25 приведенное правило применить нельзя, поскольку в сумме 17 + 19 каждое из слагаемых меньше, чем 25.
Пример 4. Найдите разность 9 ч 8 мин − 2 ч 26 мин.
Решение.
Имеем:
9 ч 8 мин − 2 ч 26 мин = 8 ч 68 мин − 2 ч 26 мин = 6 ч 42 мин.
При вычислениях были использованы правила вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы.
Имеем: 8 ч 68 мин − 2 ч 26 мин = 8 ч 68 мин − (2 ч + 26 мин) = (8 ч 68 мин − 2 ч) − 26 мин = ((8 ч + 68 мин) − 2 ч) − 26 мин = ((8 ч − 2 ч) + 68 мин) − 26 мин = (6 ч + 68 мин) − 26 мин = 6 ч + (68 мин − 26 мин) = 6 ч + 42 мин = 6 ч 42 мин.