На каждом из рисунков 82, a − г изображены два луча. На каком из рисунков пара лучей образует угол, сторонами которого являются эти лучи?
Поскольку на рисунках 82, а − в начала лучей не совпадают, то они не могут служить сторонами угла. Лучи на рисунке 82, г образуют прямую. При этом начала лучей совпадают, а следовательно, они образуют угол. Такой угол называт развернутым.
Угол, стороны которого образуют прямую, нахывают развернутым.
Углы, как и отрезки, можно измерять. Напомним, что для измерения отрезков мы использовали единичный отрезок (1 мм, 1 см и т.п.).
Однако для измерения углов мы пока не имеем такого единичного угла.
Создать его можно, например, так. Разделим развернутый угол на 180 равных углов (рис. 83). Угол, образованный двумя соседними лучами, выбирают за единицу измерения. Его величину называют градусом (от лат. gradus − "шаг", "ступенька") и записывают 1°.
Измерить угол − значит подсчитать, сколько единичных углов в нем помещается.
Тогда величина или, как еще принято говорить, градусная мера развернутого угла равна 180°.
Для измерения углов используют специальный прибор − транспортир (рис. 84). Он состоит, как правило, из полукольца, соединенного с линейкой. Его шкала содержит 180 делений.
Чтобы измерить угол, совместим его вершину с центром транспортира таким образом, чтобы одна из сторон угла прошла по линейке (рис. 85).
Тогда штрих на шкале, через который пройдет вторая сторона, укажет градусная (величину) этого угла.
Так, на рисунке 85 градусная мера угла AOB равна 55°. Пишут: ∠AOB = 55°. На рисунке 86 имеем: ∠MON = 134°.
Равные углы имеют равные градусные меры. Из двух неравных углов бОльшим будем считать тот, градусная мера которого больше. Например, из трех углов, изображенных на рисунке 87, ∠MON − наибольший. В этом легко убедиться, измерив углы транспортиром.
Величина угла обладает следующим свойством.
Если между сторонами угла ABC провести луч BD, то градусная мера угла ABC равна сумме градусных мер углов ABD и DBC (рис. 88), т.е.
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.
Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым (рис. 89, a).
Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым (рис. 89, б).
На рисунке прямой угол обозначает так: ∟.
Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180° называют тупым (рис. 89, в).
Отметим, что биссектриса развернутого угла делит его на два угла, градусная мера каждого из которых равна 90°. Следовательно, биссектриса развернутого угла делит его на два прямых угла (рис. 90).
Пример 1. Дан луч OA. Постройте угол BOA, равный 72°.
Решение.
Совместим центр транспортира с точкой O так, чтобы луч OA прошел по линейке. Выберем на кольце транспортира штрих, который соответствует 72°. Возле этого штриха отметим точку B (рис. 91). Проведем луч OB. Угол BOA − искомый.
Если дан луч OA и построен угол BOA, то говорят, что от луча OA отложен угол BOA.
Пример 2. Из вершины угла ABC проведены два луча BK и BM так, что ∠ABK = 48°, ∠CBM = 72° (рис. 92).
Вычислите величину угла ABC, если ∠MBK = 16°.
Решение.
Имеем: ∠ABM = ∠ABK − ∠MBK, ∠ABM = 48° − 16° = 32°;
∠ABC = ∠ABM + ∠СBM, ∠ABC = 32° + 72° = 104°.
Ответ: 104°.