Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трехзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнет одну цифру в полученной разности и назовет мне сумму незачеркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.
Сначала надо убедиться, что получаемая разность всегда будет делится на 9. Пусть дано трехзначное число
abc = 100a + 10b + c
Переставим цифры этого числа, например, так:
bca = 100b + 10c + a.
Если первое число больше второго, то их разность равна:
abc − bca = 100a + 10b + c − 100b − 10c − a = 99a − 90b − 9c − это натуральное число, оно делится на 9.
При других перестановках цифр разности:
100a − a,
100a − 10a,
10a − a и другие делятся на 9, поэтому получаемая разность всегда будет делиться на 9:
abc bca abc bca.
Теперь можно определить зачеркнутую цифру, так как сумма цифр разности должна делится на 9.
Например, если задумали число 347, после перестановки цифр получили 473, тогда разность 473 − 347 = 126.
Сумма цифр 1 + 2 + 6 делится на 9, а если зачеркнуть, например, 1, то сумма незачеркнутых цифр 2 + 6 = 8.
Так как до ближайшего числа, кратного 9, не хватает 1, то зачеркнутая цифра 1.