1) Не выполняя вычислений, докажите, что число 582 делится на 3.
2) Не выполняя вычислений, определите, делится ли число 582 на 9.
3) Постарайтесь сформулировать признаки делимости на 3 и на 9.
4) Попробуйте доказать признак делимости на 9 для любого трехзначного числа.
В случае затруднений прочитайте подсказку: представьте трехзначное число, где a − цифра сотен, b − цифра десятков и c − цифра единиц, в виде суммы разрядных слагаемых и постарайтесь изменить полученное выражение так, чтобы некоторые слагаемые делились на 9.
5 + 8 + 2 = 13 + 2 = 15 − сумма цифр числа 582 делится на 3, значит число 582 делится на 3.
5 + 8 + 2 = 13 + 2 = 15 − сумма цифр числа 582 не делится на 9, значит число 582 не делится на 9.
Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда делится на 3 сумма его цифр.
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда делится на 9 сумма его цифр.
Для того, чтобы обосновать признак делимости на 9, запишем трехзначное число в виде:
100a + 10b + c, где:
a − цифра сотен;
b − цифра десятков;
c − цифра единиц.
Тогда:
100a + 10b + c = 99a + a + 9b + b + c = 99a + 9b + (a + b + c)
Очевидно, что два первых слагаемых делятся на 9. Значит, если выражение в скобках тоже делится на 9, то и вся сумма делится на 9. Но выражение в скобках − это сумма цифр трехзначного числа. Отсюда следует вывод: если сумма цифр трехзначного числа делится на 9, то и само число делится на 9.