Пусть:
x (деталей) − должна была изготовить первая бригада;
y (деталей) − должна была изготовить вторая бригада.
Так как, две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей, составим первое уравнение:
x + y = 680
Так как, первая бригада перевыполнила месячное задание на 20%, а вторая − на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей, составим второе уравнение:
0,2x + 0,15y = 118
Составим систему уравнений:

0,2x + 0,15(680 − x) = 118
0,2x + 102 − 0,15x = 118
0,05x = 118 − 102
0,05x = 16
x = 320 (деталей) − должна была изготовить первая бригада;
y = 680 − x = 680 − 320 = 360 (деталей) − должна была изготовить вторая бригада.
Ответ: 320 деталей и 360 деталей.