а) Докажите, что одно из трех соседних нечетных чисел делится на 3.
б) Известно, что p, p + 2, p + 4 − простые числа. Найдите p. Докажите, что других p не существует.
Нечетное число, которое не делится на 3 можно представить в виде:
3n + 1 или 3n + 2.
Тогда 2 следующих нечетных числа будут:
для 3n + 1:
3n + (1 + 2) = 3n + 3 = 3(n + 3) − делится на 3;
3n + (3 + 2) = 3n + 5.
для 3n + 2:
3n + (2 + 2) = 3n + 4;
3n + (4 + 2) = 3n + 6 = 3(n + 2) − делится на 3.
Получается, что одно из трех соседних нечетных чисел обязательно делится на 3.
Данные числа будут простыми при p = 3, тогда:
p + 2 = 3 + 2 = 5 − простое число,
p + 4 = 3 + 4 = 7 − простое число.
Известно, что из трех соседних нечетных чисел одно обязательно делится на 3, поэтому других чисел, кроме p = 3, не существует.