Дано:
m = 3,9 т;
L = 5 м;
${\rho }_{в}=1030кг/{м}^3$;
${\rho }_{ст}=7800кг/{м}^3$;
Найти:
d − ?
СИ:
m = 3900 кг.
Решение:
Пусть внутренний диаметр d. Площадь сечения внутренней части трубы (пустоты) равна:
$S_1=\frac{\pi d^2}{4}$;
При длине трубы L и массе m площадь кольца трубы равна:
$S_2=\frac{V}{L}=\frac{m}{{\rho }_{ст}\ast <!--\; \ast \; -->L}$;
Объем трубы наружный равен:
$V=(S_1+S_2)\ast <!--\; \ast \; -->L=(\frac{\pi d^2}{4}+\frac{m}{{\rho }_{ст}\ast <!--\; \ast \; -->L})\ast <!--\; \ast \; -->L=\frac{\pi d^{2}L}{4}+\frac{m}{{\rho }_{ст}}$;
Если такую трубу полностью погрузить в воду то будет дуйствовать сила Архимеда $F_{А}=g{\rho }_{в}V$, способная удержать на плаву массу $m_1=\frac{F_{А}}{g}={\rho }_{в}V={\rho }_{в}(\frac{\pi d^{2}L}{4}+\frac{m}{{\rho }_{ст}})>m$;
$\frac{\pi d^{2}L}{4}+\frac{m}{{\rho }_{ст}}>\frac{m}{{\rho }_{в}}$;
$\frac{\pi d^{2}L}{4}>\frac{m}{{\rho }_{в}}-<!--\; -\; -->\frac{m}{{\rho }_{ст}}$;
$\pi d^{2}L>4m\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1}{{\rho }_{в}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\rho }_{ст}})$;
$d^2>\frac{4m\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1}{{\rho }_{в}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\rho }_{ст}})}{\pi L}$;
d > $\sqrt{\frac{4m\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1}{{\rho }_{в}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\rho }_{ст}})}{\pi L}}$;
d > $\sqrt{\frac{4\ast <!--\; \ast \; -->3900\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1}{1030}-<!--\; -\; -->\frac{1}{7800})}{3,14\ast <!--\; \ast \; -->5}}=\sqrt{\frac{4\ast <!--\; \ast \; -->3900\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{7800-<!--\; -\; -->1030}{1030\ast <!--\; \ast \; -->7800})}{3,14\ast <!--\; \ast \; -->5}}=\sqrt{\frac{4\ast <!--\; \ast \; -->3900\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{6770}{8034000})}{15,7}}=\sqrt{\frac{\frac{105612000}{8034000}}{15,7}}=\sqrt{\frac{13,146}{15,7}}=\sqrt{0,8373}=0,92$.
Ответ: 0,92 м.