$\frac{x-<!--\; -\; -->1}{x+5}+\frac{x+5}{x-<!--\; -\; -->1}=\frac{10}{3}$
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
$\frac{x-<!--\; -\; -->1}{x+5}+\frac{x+5}{x-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{10}{3}=0$ | * 3(x + 5)(x − 1)
$3(x-<!--\; -\; -->1{)}^2+3(x+5{)}^2-<!--\; -\; -->10(x+5)(x-<!--\; -\; -->1)=0$
$3(x^2-<!--\; -\; -->2x+1)+3(x^2+10x+25)-<!--\; -\; -->10(x^2+5x-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->5)=0$
$3x^2-<!--\; -\; -->6x+3+3x^2+30x+75-<!--\; -\; -->10x^2-<!--\; -\; -->50x+10x+50=0$
$-<!--\; -\; -->4x^2-<!--\; -\; -->16x+128=0$ | : (−4)
$x^2+4x-<!--\; -\; -->32=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=4^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->32)=16+128=144>0$
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->4+\sqrt{144}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->4+12}{2}=\frac{8}{2}=4$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->4-<!--\; -\; -->\sqrt{144}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->4-<!--\; -\; -->12}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->16}{2}=-<!--\; -\; -->8$
Ответ: −8 и 4

$\frac{x^2-<!--\; -\; -->3x+6}{x}+\frac{2x}{x^2-<!--\; -\; -->3x+6}=3$
x ≠ 0
и
$x^2-<!--\; -\; -->3x+6\ne 0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(-<!--\; -\; -->3{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->6=9-<!--\; -\; -->24=-<!--\; -\; -->15<0$ − нет корней.
$y=\frac{x^2-<!--\; -\; -->3x+6}{x}\ne 0$
$y+\frac{2}{y}=3$ | * y
$y^2+2=3y$
$y^2-<!--\; -\; -->3y+2=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(-<!--\; -\; -->3{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->2=9-<!--\; -\; -->8=1>0$
$y_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+\sqrt{1}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$
$y_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-<!--\; -\; -->\sqrt{1}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{3-<!--\; -\; -->1}{2}=\frac{2}{2}=1$
$\frac{x^2-<!--\; -\; -->3x+6}{x}=1$
или
$\frac{x^2-<!--\; -\; -->3x+6}{x}=2$
а)
$\frac{x^2-<!--\; -\; -->3x+6}{x}=1$ | * x
$x^2-<!--\; -\; -->3x+6=x$
$x^2-<!--\; -\; -->3x+6-<!--\; -\; -->x=0$
$x^2-<!--\; -\; -->4x+6=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(-<!--\; -\; -->4{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->6=16-<!--\; -\; -->24=-<!--\; -\; -->8<0$ − нет корней
б)
$\frac{x^2-<!--\; -\; -->3x+6}{x}=2$ | * x
$x^2-<!--\; -\; -->3x+6=2x$
$x^2-<!--\; -\; -->3x+6-<!--\; -\; -->2x=0$
$x^2-<!--\; -\; -->5x+6=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(-<!--\; -\; -->5{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->6=25-<!--\; -\; -->24=1>0$
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5+\sqrt{1}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{5-<!--\; -\; -->\sqrt{1}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{5-<!--\; -\; -->1}{2}=\frac{4}{2}=2$
Ответ: 2 и 3

$\frac{x^2}{(3x-<!--\; -\; -->1{)}^2}-<!--\; -\; -->\frac{4x}{3x-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->5=0$
3x − 1 ≠ 0
3x ≠ 1
$x\ne \frac{1}{3}$
$y=\frac{x}{3x-<!--\; -\; -->1}$
$y^2-<!--\; -\; -->4y-<!--\; -\; -->5=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(-<!--\; -\; -->4{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->5)=16+20=36>0$
$y_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+\sqrt{36}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$
$y_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-<!--\; -\; -->\sqrt{36}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{4-<!--\; -\; -->6}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->2}{2}=-<!--\; -\; -->1$
$\frac{x}{3x-<!--\; -\; -->1}=5$
или
$\frac{x}{3x-<!--\; -\; -->1}=-<!--\; -\; -->1$
а)
$\frac{x}{3x-<!--\; -\; -->1}=5$
x = 5(3x − 1)
x = 15x − 5
x − 15x = −5
−14x = −5
$x=\frac{5}{14}$
б)
$\frac{x}{3x-<!--\; -\; -->1}=-<!--\; -\; -->1$
x = −(3x − 1)
x = −3x + 1
x + 3x = 1
4x = 1
$x=\frac{1}{4}$
Ответ: $x=\frac{1}{4}$ и $x=\frac{5}{14}$

$\frac{24}{x^2+2x-<!--\; -\; -->8}-<!--\; -\; -->\frac{15}{x^2+2x-<!--\; -\; -->3}=2$
$x^2+2x-<!--\; -\; -->8\ne 0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=2^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->8=4+32=36>0$
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->2+\sqrt{36}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->2+6}{2}=\frac{4}{2}\ne 2$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->\sqrt{36}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->6}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->8}{2}\ne -<!--\; -\; -->4$
и
$x^2+2x-<!--\; -\; -->3\ne 0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=2^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->3)=4+12=16>0$
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->2+\sqrt{16}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->2+4}{2}=\frac{2}{2}\ne 1$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->\sqrt{16}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->4}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->6}{2}\ne -<!--\; -\; -->3$
$y=x^2+2x$
$\frac{24}{y-<!--\; -\; -->8}-<!--\; -\; -->\frac{15}{y-<!--\; -\; -->3}=2$ | * (y − 8)(y − 3)
24(y − 3) − 15(y − 8) = 2(y − 8)(y − 3)
$24y-<!--\; -\; -->72-<!--\; -\; -->15y+120=2(y^2-<!--\; -\; -->8y-<!--\; -\; -->3y+24)$
$9y+48=2y^2-<!--\; -\; -->16y-<!--\; -\; -->6y+48$
$9y+48=2y^2-<!--\; -\; -->22y+48$
$-<!--\; -\; -->2y^2+9y+22y+48-<!--\; -\; -->48=0$
$-<!--\; -\; -->2y^2+31y=0$
−y(2y − 31) = 0
−y = 0
y = 0
или
2y − 31 = 0
2y = 31
y = 15,5
$x^2+2x=0$
или
$x^2+2x=15,5$
а)
$x^2+2x=0$
x(x + 2) = 0
x = 0
или
x + 2 = 0
x = −2
б)
$x^2+2x=15,5$
$x^2+2x-<!--\; -\; -->15,5=0$ | * 2
$2x^2+4x-<!--\; -\; -->31=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=4^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->2\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->31)=16+248=264>0$
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->4+\sqrt{264}}{2\ast <!--\; \ast \; -->2}=\frac{-<!--\; -\; -->4+\sqrt{4\ast <!--\; \ast \; -->66}}{4}=\frac{-<!--\; -\; -->4+2\sqrt{66}}{4}=\frac{2(-<!--\; -\; -->2+\sqrt{66})}{4}=\frac{-<!--\; -\; -->2+\sqrt{66}}{2}=-<!--\; -\; -->1+\frac{\sqrt{66}}{2}$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->4-<!--\; -\; -->\sqrt{264}}{2\ast <!--\; \ast \; -->2}=\frac{-<!--\; -\; -->4-<!--\; -\; -->\sqrt{4\ast <!--\; \ast \; -->66}}{4}=\frac{-<!--\; -\; -->4-<!--\; -\; -->2\sqrt{66}}{4}=\frac{2(-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->\sqrt{66})}{4}=\frac{-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->\sqrt{66}}{2}=-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{66}}{2}$
Ответ: $-<!--\; -\; -->2;0;-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{66}}{2};-<!--\; -\; -->1+\frac{\sqrt{66}}{2}$.