Каждый из трех учеников написал 100 разных слов. После этого слова, которые встретились не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного ученика осталось 45 слов, у второго − 68, а у третьего − 78. Докажите, что по крайней мере одно слово записали все трое.
100 − 45 = 55 (слов) − вычеркнули у первого ученика;
100 − 68 = 32 (слова) − вычеркнули у второго ученика;
100 − 78 = 22 (слова) − вычеркнули у третьего ученика.
Вычеркнули слова, которые не менее двух раз встретились, значит вычеркнули слова которые встретились либо 2 раза, либо 3 раза.
Допустим, что все вычеркнутые слова встретились 2 раза, тогда вычеркнутые слова составили бы пары одинаковых слов, а значит общее количество вычеркнутых слов должно быть числом четным.
55 + 32 + 22 = 109 (слов) − вычеркнули всего.
109 − число нечетное, а значит по крайней мере одно слово встретилось 3 раза, то есть было написано каждым из учеников.