Петя и Коля ежедневно записывают по одному числу. В первый день каждый из мальчиков записал число 1. В каждый последующий день Петя записывает число 1, а Коля − число, равное сумме чисел, записанных мальчиками за предыдущие дни. Может ли в какой−то день Коля записать число, оканчивающееся на 101?
Составим таблицу записей мальчиков:
| день | Петя | Коля |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 5 |
| 4 | 1 | 11 |
| 5 | 1 | 23 |
| 6 | 1 | 47 |
| 7 | 1 | 95 |
| 8 | 1 | 191 |
Заметим, что начиная с третьего дня все числа, записанные Колей, являются нечётными. Действительно, если в некоторый день, начиная со второго, Коля записал число x, то на следующий день он запишет число 2x + 1.
Предположим, что в некоторый день Коля записал число, заканчивающееся на 101. Тогда в предыдущий день им было записано число, заканчивающееся на 50, а такое число является чётным. Получили противоречие.
Ответ: Коля не может записать число, оканчивающееся на 101.