Пусть:
a = 2n
b = 2m + 1
Тогда:
1)
$\frac{8b}{5a}=\frac{8(2m+1)}{5\ast <!--\; \ast \; -->2n}=\frac{16m+8}{10n}=\frac{2\ast <!--\; \ast \; -->(8m+4)}{2\ast <!--\; \ast \; -->5n}=\frac{8m+4}{5n}$
при m = 2 и n = 2:
$\frac{8\ast <!--\; \ast \; -->2+4}{5\ast <!--\; \ast \; -->2}=\frac{20}{10}=2$ − число натуральное.
2)
$\frac{a^2}{b^2}=\frac{(2n{)}^2}{(2m+1{)}^2}=\frac{4n^2}{4m^2+4m+1}$
при m = 0 n = 1:
$\frac{4\ast <!--\; \ast \; -->1^2}{4\ast <!--\; \ast \; -->0^2+4\ast <!--\; \ast \; -->0+1}=\frac{4}{1}=4$ − число натуральное.
3)
$\frac{4a}{b}=\frac{4\ast <!--\; \ast \; -->2n}{2m+1}=\frac{8n}{2m+1}$
при m = 0 n = 1:
$\frac{8\ast <!--\; \ast \; -->1}{2\ast <!--\; \ast \; -->0+1}=\frac{8}{1}=8$ − число натуральное.
4)
$\frac{b^2}{a}=\frac{(2m+1{)}^2}{2n}=\frac{4m^2+4m+1}{2n}=\frac{4m^2}{2n}+\frac{4m}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{2m^2}{n}+\frac{2m}{n}+\frac{1}{2n}$ − так как при любых значениях m и n число $\frac{1}{2n}$ всегда будет не натуральным, значит и сумма $\frac{2m^2}{n}+\frac{2m}{n}+\frac{1}{2n}$ всегда будет числом не натуральным. Следовательно значение $\frac{b^2}{a}$ не может быть натуральным числом.
Ответ: 4) $\frac{b^2}{a}$