а) Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго, − 85 р.; сложившись без третьего, − 80 р.; сложившись без четвертого, − 75 р. Сколько у кого денег?
б) Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвертого сына равна 9 годам, первого и шестого − 8 годам, второго и пятого − 8 годам, второго и третьего − 9 годам, третьего и шестого − 6 годам, четвертого и седьмого − 4 годам, а седьмого и пятого − также 4 годам. Сколько лет каждому? (Возраст каждого из сыновей выражается натуральным числом.)
Обозначим цифрами I, II, III, IV суммы первого, второго, третьего и четвертого купцов соответственно:
II + III + IV = 90;
III + IV + I = 85;
IV + I + II = 80;
I + II + III = 75.
Сложив левые и правые части равенств, получим:
(II + III + IV) + (III + IV + I) + (IV + I + II) + (I + II + III) = 90 + 85 + 80 + 75
3 * (I + II + III + IV) = 330
I + II + III + IV = 330 : 3
I + II + III + IV = 110 (р.) − было у купцов всего, тогда:
1) 110 − 90 = 20 (р.) − было у первого купца;
2) 110 − 85 = 25 (р.) − было у второго купца;
3) 110 − 80 = 30 (р.) − было у третьего купца;
4) 110 − 75 = 35 (р.) − было у четвертого купца.
Ответ: 20 р., 25 р., 30 р., 35 р.
Обозначим цифрами I II III IV V VI VII возраст первого, второго, третьего, четвертого, пятого, шестого и седьмого сыновей соответственно:
I + IV = 9;
I + VI = 8;
II + V = 8;
II + III = 9;
III + VI = 6;
IV + VII = 4;
VII + V = 4.
Сложив левые и правые части равенств, получим:
(I + IV) + (I + IV) + (II + V) + (II + III) + (III + VI) + (IV + VII) + (VII + V) = 9 + 8 + 8 + 9 + 6 + 4 + 4
2 * (I + II + III + IV + V + VI + VII) = 48
I + II + III + IV + V + VI + VII = 48 : 2
I + II + III + IV + V + VI + VII = 24 (года) − суммарный возраст всех сыновей, тогда:
1) 24 − (8 + 6 + 4) = 24 − 18 = 6 (лет) − первому сыну;
2) 9 − 6 = 3 (года) − четвертому сыну;
3) 8 − 6 = 2 (года) − шестому сыну;
4) 6 − 2 = 4 (года) − третьему сыну;
5) 9 − 4 = 5 (лет) − второму сыну;
6) 4 − 3 = 1 (год) − седьмому сыну;
7) 4 − 1 = 3 (года) − пятому сыну.
Ответ:
первому сыну − 6 лет;
второму сыну − 5 лет;
третьему сыну − 4 года;
четвертому сыну − 3 года;
пятому сыну − 3 года;
шестому сыну − 2 года;
седьмому сыну − 1 год.