(Задача−исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения

\sqrt{n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1}

является натуральным числом?
1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении
n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразование и дайте ответ на вопрос задачи.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 6. Номер №488

Решение

Пусть n = 5
Тогда:

\sqrt{n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1} = \sqrt{5 * 6 * 7 * 8 + 1} = \sqrt{1681} = 41

Введем новую переменную

t = n + \frac{3}{2}

Тогда:

\sqrt{n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1} = \sqrt{(t - \frac{3}{2}) (t - \frac{1}{2}) (t + \frac{1}{2}) (t + \frac{3}{2}) + 1} = \sqrt{(t^{2} - \frac{9}{4}) (t^{2} - \frac{1}{4}) + 1} = \sqrt{t^{4} - \frac{10}{4} t^{2} + \frac{9}{16} + 1} = \sqrt{t^{4} - \frac{5}{2} t^{2} + \frac{25}{16}} = \sqrt{(t^{2})^{2} - 2 * \frac{5}{4} t^{2} + (\frac{5}{4})^{2}} = \sqrt{(t^{2} - \frac{5}{4})^{2}} = | t^{2} - \frac{5}{4} | = | (n + \frac{3}{2})^{2} - \frac{5}{4} | = | n^{2} + 3 n + \frac{9}{4} - \frac{5}{4} | = n^{2} + 3 n + 1

∈ N
Таким образом, значение корня

n^{2} + 3 n + 1

является натуральным числом ∀n ∈ N.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 6. Номер №488

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 6. Номер №488

Решение