Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:
а)

a^{2} + 4 a + 11

;
б)

\frac{x^{2} - 2 x + 7}{19}

;
в)

m^{2} - 4 m + 51

;
г)

\frac{p^{2} - 6 p + 18}{p^{2} + 1}

;
д)

2 b^{2} - 8 b + 20

;
е)

\frac{2 c^{2} + 18}{c^{2} + 12 c + 40}

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 8. Номер №652

a^{2} + 4 a + 11 = (a^{2} + 4 a + 4) + 7 = (a + 2)^{2} + 7 \geq 7 > 0

\frac{x^{2} - 2 x + 7}{19} = \frac{(x^{2} - 2 x + 1) + 6}{19} \geq \frac{6}{19} > 0

m^{2} - 4 m + 51 = (m^{2} - 4 m + 4) + 47 = (m - 2)^{2} + 47 \geq 47 > 0

\frac{p^{2} - 6 p + 18}{p^{2} + 1} = \frac{(p^{2} - 6 p + 9) + 9}{p^{2} + 1} = \frac{(p - 3)^{2} + 9}{p^{2} + 1}

числитель:

(p - 3)^{2} + 9 \geq 9 > 0

− положительный;
знаменатель:

p^{2} + 1 \geq 1 > 0

− положительный.
Значит, дробь положительна при любом p.

2 b^{2} - 8 b + 20 = 2 (b^{2} - 4 b + 10) = 2 (b^{2} - 4 b + 4 + 6) = 2 ((b - 2)^{2} + 6) \geq 12 > 0

\frac{2 c^{2} + 18}{c^{2} + 12 c + 40} = \frac{2 c^{2} + 18}{(c^{2} + 12 c + 36) + 4} = \frac{2 c^{2} + 18}{(c + 6)^{2} + 4}

числитель:

2 c^{2} + 18 \geq 18 > 0

− положительный;
знаменатель:

(c + 6)^{2} + 4 \geq 4 > 0

− положительный.
Значит, дробь положительна при любом c.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова