1. Учебники
  2. 8 класс
  3. Алгебра 👍
  4. Макарычев
  5. №912
ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 36. Доказательство неравенств. Номер №912

Докажите, что если x + y + z = 1, то

4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 5
reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 36. Доказательство неравенств. Номер №912

Решение

Способ 1.

4 x + 1 ≤ 4 x 2 + 4 x + 1

4 x + 1 ≤ ( 2 x + 1 ) 2

4 x + 1 ≤ | 2 x + 1 |

Допустимое значение x:
4x + 1 ≥ 0
x ≥ − 1 4
|*2
2 x ≥ − 1 2

2 x + 1 ≥ − 1 2 + 1

2 x + 1 ≥ 1 2

2 x + 1 > 0
− положительно, значит:
|2x + 1| = 2x + 1 и оценка для корня:
4 x + 1 ≤ 2 x + 1

Для суммы корней:
4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 2 x + 1 + 2 y + 1 + 2 z + 1

4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 2 ( x + y + z ) + 3

4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 2 + 3

4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 5

Неравенство доказано.
 
Способ 2.
Можно представить
4 x + 1
как среднее геометрическое между 4x + 1 и 1.
Тогда получаем оценку для корней:
4 x + 1 ≤ 4 x + 1 + 1 2

4 x + 1 ≤ 2 x + 1
,
которая равна полученной выше.
Для суммы корней:
4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 2 x + 1 + 2 y + 1 + 2 z + 1

4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 2 ( x + y + z ) + 3

4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 2 + 3

4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 5

Неравенство доказано.