Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно неравенство:
а)

a c + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{a b}

;
б)

(1 + \frac{a^{2}}{b c}) (1 + \frac{b^{2}}{a c}) (1 + \frac{c^{2}}{a b}) \geq 8

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 10. Номер №927

Решение а

a c + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{a b}

a c + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{a c * \frac{b}{c}}

a c + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{a b}

Неравенство доказано.

Решение б

(1 + \frac{a^{2}}{b c}) (1 + \frac{b^{2}}{a c}) (1 + \frac{c^{2}}{a b}) \geq 8

{\begin{cases} 1 + \frac{a^{2}}{b c} \geq 2 \sqrt{1 * \frac{a^{2}}{b c}} = \frac{2 a}{\sqrt{b c}} \\ 1 + \frac{b^{2}}{a c} \geq 2 \sqrt{1 * \frac{b^{2}}{a c}} = \frac{2 b}{\sqrt{a c}} \\ 1 + \frac{c^{2}}{a b} \geq 2 \sqrt{1 * \frac{c^{2}}{a b}} = \frac{2 c}{\sqrt{a b}} \end{cases}

(1 + \frac{a^{2}}{b c}) (1 + \frac{b^{2}}{a c}) (1 + \frac{c^{2}}{a b}) \geq \frac{2 a}{\sqrt{b c}} * \frac{2 b}{\sqrt{a c}} * \frac{2 c}{\sqrt{a b}} = \frac{8 a b c}{a b c} = 8

Неравенство доказано.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 10. Номер №927

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 10. Номер №927

Решение а

Решение б