Чтобы произведение n(2n + 1)(7n + 1) делилось на 6 необходимо, чтобы оно было кратно 2 и 3.
При четном n произведение делится на 2, так как один из множителей число n. При нечетном n сумма (7n + 1) является четным числом, то есть произведение кратно 2. Значит произведение всегда кратно 2.
При делении на 3 остаток от деления может быть 0, 1 или 2.
1) Если остаток от деления 0, значит произведение кратно 3. Так как произведение кратно 3 и 2, значит оно делится на 6.
2) Если остаток от деления 1, значит число n можно представить в виде n = 3q + 1, тогда:
2n + 1 = 2(3q + 1) + 1 = 6q + 2 + 1 = 6q + 3 = 3(2q + 1). Значит сумма (2n + 1) кратна 3. Так как произведение кратно 3 и 2, значит оно делится на 6.
3) Если остаток от деления 2, значит число n можно представить в виде n = 3q + 2, тогда:
7n + 1 = 7(3q + 2) + 1 = 21q + 14 + 1 = 21q + 15 = 3(7q + 5). Значит сумма (7n + 1) кратна 3. Так как произведение кратно 3 и 2, значит оно делится на 6.
Вывод: произведение n(2n + 1)(7n + 1) при любом значении n кратно 2 и 3, то есть делится на 6, что и требовалось доказать.