Для вариантов № 1 и № 2 контрольной работы учителю надо выбрать по одному из следующих уравнений (в разных вариантах уравнения должны быть различными):
x + (x − 5) = 15;
2 − 7(x + 2) = 6(x − 2);
3(2 − x) − 1 = 5 − 7x;
8x − x = 21;
5(x + 2) − 6(x − 2) = 5.
а) Сколько всего способов такого выбора существует?
б) Сколько всего способов такого выбора существует, если в обоих вариантах корень уравнения должен быть отличен от 0?
в) Сколько всего способов такого выбора существует, если хотя бы в одном из вариантов корень уравнения должен быть отличен от 0?
г) Сколько всего существует способов выбора различных уравнений для составления трех вариантов контрольной работы?
а)
Первое уравнение учитель может выбрать из пяти уравнений, а второе уравнение учитель может выбрать из четрыех оставшихся уравнений, значит:
5 * 4 = 20 (способов) − выбора уравнений всего существует.
б)
Решим уравнения:
x + (x − 5) = 15
x + x − 5 = 15
2x = 15 + 5
2x = 20
x = 10
2 − 7(x + 2) = 6(x − 2)
2 − 7x − 14 = 6x − 12
−7x − 6x = −12 − 2 + 14
−13x = 0
x = 0
3(2 − x) − 1 = 5 − 7x
6 − 3x − 1 = 5 − 7x
−3x + 7x = 5 − 6 + 1
4x = 0
x = 0
8x − x = 21
7x = 21
x = 3
5(x + 2) − 6(x − 2) = 5
5x + 10 − 6x + 12 = 5
−x = 5 − 10 − 12
−x = −17
x = 17
Корни уравнений: 10; 0, 0; 3; 17.
Тогда при выборе уравнений с корнем отличным от нуля:
первое уравнение учитель может выбрать из трех уравнений;
второе уравнение учитель может выбрать из оставшихся двух уравнений, значит:
3 * 2 = 6 (способов) − выбора уравнений всего существует.
в)
Корень уравнения отличен от нуля хотя бы в одном из вариантов, если:
1) Корень в обоих вариантах отличен от нуля, тогда:
выбор первого уравнения имеет 3 способа;
выбор второго уравнения имеет 2 способа, тогда:
3 * 2 = 6 (способов) − выбора уравнений всего существует.
2) Корень в варианте №1 равен 0, а в варианте №2 отличен от 0, тогда:
выбор первого уравнения имеет 2 способа;
выбор второго уравнения имеет 3 способа, тогда:
2 * 3 = 6 (способов) − выбора уравнений всего существует.
3) Корень в варианте №1 отличен от нуля, а в варианте №2 корень равен 0, тогда:
выбор первого уравнения имеет 3 способа;
выбор второго уравнения имеет 2 способа, тогда:
3 * 2 = 6 (способов) − выбора уравнений всего существует.
Значит:
6 + 6 + 6 = 18 (способов) − искомого выбора существует.
г)
выбор первого уравнения имеет 5 способов;
выбор второго уравнения имеет 4 способа;
выбор третьего уравнения имеет 3 способа, тогда:
5 * 4 * 3 = 60 (способов) − искомого выбора существует.