Дано:
m = 5 кг;
h = 2 м;
k = 500 Н/м;
g = 10 Н/кг.
Найти:
x − ?
Решение:
Система пружина − шар является замкнутой, для неё выполняется закон сохранения полной механической энергии.
$E_{п1}+E_{к1}=E_{п2}+E_{к2}$;
Кинетическая энергия шара в начальной и конечной точке равна нулю. Потенциальная энергия шарика до падения:
$E_{п1}=mg\ast <!--\; \ast \; -->(h+x)$;
Потенциальная энергия упруго деформированной пружины:
$E_{п2}=\frac{k(x{)}^2}{2}$;
$E_{п1}=E_{п2}$;
$mg\ast <!--\; \ast \; -->(h+x)=\frac{k{x}^2}{2}$;
$\frac{k{x}^2}{2}-<!--\; -\; -->mgh-<!--\; -\; -->mgx=0$;
$x^2-<!--\; -\; -->\frac{2mg}{k}x-<!--\; -\; -->\frac{2mgh}{k}=0$;
$x^2-<!--\; -\; -->\frac{2\ast <!--\; \ast \; -->5\ast <!--\; \ast \; -->10}{500}x-<!--\; -\; -->\frac{2\ast <!--\; \ast \; -->5\ast <!--\; \ast \; -->10\ast <!--\; \ast \; -->2}{500}=0$;
$x^2-<!--\; -\; -->0,2x-<!--\; -\; -->0,4=0$;
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(-<!--\; -\; -->0,2{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->0,4)=0,04+1,6=1,64$;
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
$x_1=\frac{0,2-<!--\; -\; -->\sqrt{1,64}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=-<!--\; -\; -->0,54$ − не имеет смысла;
$x_2=\frac{0,2+\sqrt{1,64}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=0,74$.
Ответ: 0,74 м.