(Задача−исследование.) При каких значениях a и b является тождеством равенство

\frac{5 x + 31}{(x - 5) (x + 2)} = \frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2}

?
а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите ее.
в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 8. Функция y = k/x и ее график. Номер №195

Решение

а) Чтобы ответить на вопрос задачи необходимо в правой части привести дроби к общему знаменателю.

б)

\frac{5 x + 31}{(x - 5) (x + 2)} = \frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2}

\frac{5 x + 31}{(x - 5) (x + 2)} = \frac{a (x + 2) + b (x - 5)}{(x - 5) (x + 2)}

\frac{5 x + 31}{(x - 5) (x + 2)} = \frac{a x + 2 a + b x - 5 b}{(x - 5) (x + 2)}

\frac{5 x + 31}{(x - 5) (x + 2)} = \frac{x (a + b) + (2 a - 5 b)}{(x - 5) (x + 2)}

Знаменатели дробей равны, поэтому дроби будут равны, если будут равны их числители.
5x + 31 = x(a + b) + (2a − 5b)

{\begin{cases} a + b = 5 \\ 2 a - 5 b = 31 \end{cases}

{\begin{cases} a = 5 - b \\ 2 (5 - b) - 5 b = 31 \end{cases}

2(5 − b) − 5b = 31
10 − 2b − 5b = 31
10 − 7b = 31
−7b = 31 − 10
b = 21 : (−7)
b = −3
a = 5 − b = 5 + 3 = 8

{\begin{cases} a = 8 \\ b = - 3 \end{cases}

в) Выражение является тождеством при a = 8, b = −3.
Проверка:

\frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2} = \frac{8}{x - 5} + \frac{3}{x + 2} = \frac{8 (x + 2) - 3 (x - 5)}{(x - 5) (x + 2)} = \frac{5 x + 31}{(x - 5) (x + 2)}

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 8. Функция y = k/x и ее график. Номер №195

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 8. Функция y = k/x и ее график. Номер №195

Решение