ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

авторы: Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова.

издательство: "Просвещение" 2013 г

Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 28. Числовые неравенства. Номер №734

Решение

Пусть a > 0 − исследуемое число.
Допустим, что

a + \frac{1}{a} < 2

Преобразуем сумму:

\frac{a^{2} + 1}{a} = \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a} + \frac{2 a}{a} = \frac{(a - 1)^{2}}{a} + 2 < 2

Получаем:

\frac{(a - 1)^{2}}{a} < 0

Числитель дроби неотрицателен при любом a, знаменатель положителен по определению. Значит, дробь не может быть отрицательной. Мы пришли к противоречию. Откуда следует, что

a + \frac{1}{a} \geq 2

.
Что и требовалось доказать.