(Задача−исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.
1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану BO.
2) На луче BO отложите отрезок OD = BO и соедините точку D с точками A и C. Какой вид имеет четырехугольник ABCD?
3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните

2 m_{b}

с суммой BC + AB (

m_{b}

− медиана BO).
4) Составьте аналогичные неравенства для

2 m_{a}

2 m_{c}

.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму

m_{a} + m_{b} + m_{c}

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 30. Сложение и умножение числовых неравенств. Номер №778

Решение

Решение рисунок 1
Согласно построению:
BO = OD
AO = OC, то есть диагонали четырехугольника ABCD делятся в точке пересечения пополам. Значит, ABCD − параллелограмм.
Неравенство треугольника для ABD:
BD < AB + AD = AB + BC
Обозначим:

B D = 2 m_{b}

,
AB = c,
BC = a.
Тогда:

2 m_{b} = a + c

m_{b} = \frac{a + c}{2}

Длина медианы, опущенной из вершины B меньше полусуммы прилегающих к этой вершине сторон.
Аналогично для остальных медиан можем записать:

m_{a} = \frac{b + c}{2}

m_{c} = \frac{a + b}{2}

Сумма полученных трех неравенств:

m_{a} + m_{b} + m_{c} < \frac{b + c}{2} + \frac{a + c}{2} + \frac{a + b}{2}

m_{a} + m_{b} + m_{c} < a + b + c

m_{a} + m_{b} + m_{c} < P

Сумма медиан меньше периметра треугольника.
Теперь найдем нижнюю границу суммы медиан.
Рассмотрим треугольники ABO и BOC. Для них неравенство треугольника имеет вид:
BO + AO > AB;
BO + OC > BC.
Обозначим:

B O = m_{b}

A O = O C = \frac{b}{2}

,
AB = c,
BC = a.
Сумма двух неравенств дает:

2 m_{b} + b > a + c

2 m_{b} > a + c - b

m_{b} > \frac{a + c - b}{2}

Аналогично для остальных медиан:

m_{a} > \frac{b + c - a}{2}

;

m_{c} > \frac{a + b - c}{2}

.
Их сумма:

m_{a} + m_{b} + m_{c} > \frac{b + c - a}{2} + \frac{a + c - b}{2} + \frac{a + b - c}{2}

m_{a} + m_{b} + m_{c} > \frac{a + b + c}{2}

m_{a} + m_{b} + m_{c} > \frac{P}{2}

Сумма медиан больше полупериметра треугольника.
Таким образом, верхняя и нижняя оценка суммы медиан треугольника определяется его периметром:

\frac{P}{2} < m_{a} + m_{b} + m_{c} < P

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 30. Сложение и умножение числовых неравенств. Номер №778

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 30. Сложение и умножение числовых неравенств. Номер №778

Решение